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Geometría de los acordes
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por Bruno Massare

IDEAS: TEORÍA MUSICAL
Geometría de los acordes

Desde hace siglos, músicos y filósofos procuran saber qué hace que notas y acordes combinados en una melodía suenen bien o mal. Un profesor de Princeton, Dmitri Tymoczko creó un modelo geométrico que permite ver y entender la estructura de la composición musical. Se trata del primer trabajo de música que ha publicado la prestigiosa revista Science en su historia. Expertos argentinos opinan sobre el alcance del hallazgo.
En tiempos en que el mapa genético del ser humano va dejando de ser un misterio, hay áreas del saber que permanecen en el imaginario colectivo como algo, en última instancia, mágico. La música es una de ellas. Sin embargo, la teoría sobre la armonía ya estaba muy desarrollada en Grecia clásica, y aún se la consideraba en pie de igualdad con las demás ciencias en el siglo XVII, cuando Galileo buscaba la clave matemática para decifrar la naturaleza. En esta línea, hoy se sigue buceando en la estructura matemática de las relaciones entre las notas musicales en busca de nuevas revelaciones.
Dmitri Tymoczko, formado en filosofía en Harvard, compositor y teórico musical que enseña en la Universidad de Princeton, en Estados Unidos, parece haber hallado al menos uno de esos supuestos tesoros escondidos. Si bien en general los compositores suelen hablar de unir acordes y melodías como si los sonidos fueran objetos físicos, Tymoczko creó un modelo geométrico que postula como una nueva herramienta visual para entender la estructura de la composición musical.
Los resultados de su trabajo, sintetizados en el escrito "La geometría de los acordes musicales", constituyen el primer artículo sobre teoría musical que Science —probablemente la revista de divulgación científica más importante del mundo— ha publicado en sus 127 años de historia.

Axiomática musical
Tymoczko parte de que la música occidental se ha construido sobre dos pilares: armonía y contrapunto (del latín punctus contra punctum, nota contra nota). La primera está relacionada con los acordes (o notas simultáneas) y las secuencias de éstos. El segundo es la técnica de conectar notas individuales con una serie de acordes, para formar melodías simultáneas. Músicos y matemáticos han estudiado este tema por casi 300 años. El círculo de quintas (Heinichen, 1728) representa contrapuntos que suenan bien a lo largo de las doce escalas mayores en un espacio geométrico imaginario,
en forma de círculo. Y el Tonnetz (Euler, 1739), amplió ese modelo.
En esa línea, este trabajo plantea una forma diferente de graficar la música. "La notación tradicional —el pentagrama— es muy buena para representar la estructura de una melodía, porque muestra qué nota está cerca de otra —dice Tymoczko, que compone música clásica, jazz y rock—. Pero no es muy útil para representar una estructura armónica, porque ofrece muchas formas diferentes de mostrar un acorde, por ejemplo, de do mayor. Lo que logré es representar ambas estructuras al mismo tiempo".
Para representar la forma en que interactúan acordes y notas musicales Tymoczko recurrió a la geometría no euclideana —se podría definir, a grandes rasgos, como la que se aplica a superficies y espacios curvos— para desembocar en lo que bautizó como orbitfold, un gráfico en el cual los acordes, que aparecen representados por puntos, y los contrapuntos, representados por líneas, se relacionan entre sí. Con ese fin, el autor desarrolló un algoritmo para hacer una traslación geométrica de las notas que forman los acordes, de manera que aparecen representadas como un punto en un espacio de varias dimensiones. Así, es posible visualizar una determinada secuencia de acordes conectados por líneas, y esas uniones permiten ver cómo se cambian las notas para pasar de un acorde a otro.
El orbitfold puede tener dos, tres y hasta cuatro dimensiones, lo que dependerá de la cantidad de notas que tengan los acordes allí representados. En un gráfico de tres dimensiones, que es una suerte de triángulo en forma de prisma, las armonías más populares, como los acordes mayores, se ubican cerca del centro del triángulo, próximos a otros acordes comúnmente utilizados. Mientras que los grupos más disonantes están más cerca de los bordes. "Los músicos en general se manejan en una determinada región, sin saltar a otra demasiado rápido", dice Tymoczko.
Según el investigador, "teníamos herramientas disponibles para analizar las armonías tradicionales, pero la música se ha vuelto más compleja a medida que se usan acordes no tradicionales. Eso me llevó a construir un modelo que permite visualizar cualquier tipo de acorde y cómo se relaciona con otros".
El autor creó, como demostración, un pequeño video en el que muestra el modelo en acción mediante el preludio en mi menor de Frederick Chopin, en este caso, en cuatro dimensiones. "Esta pieza es misteriosa, dado que usa armonías tradicionales pero conectadas con sucesiones de acordes poco comunes, difíciles de describir al escucharlas. Pero si se las pone sobre un espacio geométrico se puede ver que Chopin se mueve entre espacios cortos y sobre todo restrigiéndose a una sola región", asegura.
Por el análisis de este modelo —que implicó también el desarrollo de un software específico— ya pasaron desde la música del húngaro György Ligeti (autor de la música de 2001: Odisea del Espacio), que, según Tymoczko, "tiene muchos más puntos de contacto con la música occidental tradicional de lo que se creía", hasta los temas de bandas de rock como Deep Purple, entre otros. También obras de Claude Debussy, uno de los compositores favoritos del autor. "Me encontré con que su música es mucho más sistemática de lo que creía, tenía un manejo muy sofisticado de las escalas y sus relaciones. Chopin, Debussy y hasta Wagner, suelen ser catalogados de románticos, de tener un estilo más aferrado al sentimiento que a la estructura compositiva, pero es posible que simplemente no estuviésemos entendiendo esas estructuras".

¿Por qué suena bien?
El modelo geométrico de Tymoczko es aplicable más que nada a lo que se conoce como música occidental, es decir, a la originada en Europa y sus colonias y caracterizada por acordes cambiantes y melodías simultáneas. "Se puede usar el orbitfold para representar cualquier tipo de música, pero los resultados pueden ser poco atractivos. Buena parte de la música no occidental usa una sola melodía por vez y en esos casos el gráfico no ofrece algo revelador, uno ve a la música moverse a través de un círculo. Lo mismo pasa con las armonías que no cambian a lo largo de una pieza. Eso lo hace menos interesante desde el punto de vista geométrico, ¡pero eso no implica que la música sea menos interesante!", enfatiza.
"Hasta hoy, ninguna teoría había logrado articular principios generales que logren explicar cuándo y por qué determinadas combinaciones de acordes y contrapuntos son posibles en forma eficiente", asegura el compositor, que tiene 38 años y nació en Northampton, Massachusetts.
¿Qué es lo que hace que determinadas combinaciones de acordes resulten placenteras o desagradables? ¿Qué determina que dos acordes puedan conectarse con otra serie de notas que suenan al mismo tiempo? Son preguntas que no sólo los músicos, sino también teóricos de diversas disciplinas, han debatido e intentado responder durante siglos.
En este sentido, el trabajo se mueve en una delgada línea entre lo descriptivo y lo normativo, aunque el autor asegura que no pretende decir qué suena bien y qué suena mal. "Es un modelo descriptivo, aunque de todas formas hay algunos principios generales que son compartidos por un amplio espectro de estilos. El modelo que desarrollé puede mostrar cómo estos principios pueden ser satisfechos simultáneamente. La música atonal, por ejemplo, abandona esos principios, entonces mi trabajo no sirve para analizarla", dice. "Permite visualizar la forma de escribir música que un público occidental encontraría, por lo menos, agradable. Eso no significa que pueda mostrarle a la gente cómo hacer una obra maestra o algo que le gustaría a todo el mundo, porque no existen esa clase de atajos en la música y la geometría no va a ayudar a ser buen músico a quien no tiene talento para serlo."

Teoría y computadora
Tymoczko dice que el motor que lo llevó a buscar un enfoque diferente sobre la teoría musical fue el modo en que se volvió más compleja la música en los dos últimos siglos. Pero, ¿realmente la música se ha vuelto más compleja? ¿Acaso no se repiten fórmulas desde hace siglos, y sin embargo el público las sigue disfrutando como si fuesen novedosas?
"Hay períodos en que la cultura musical se renueva a sí misma volviendo a los principios básicos. Hay una oscilación entre la necesidad de simplicidad y complejidad, y esta última se ve alimentada hoy en día por la cantidad de información disponible, lo que amplía el rango de técnicas e influencias. Aunque antes también hubo música increíblemente compleja, como el Ars Subtilior en el siglo XIV. Es cierto que las fórmulas se repiten y todo funciona, pero es que la complejidad no siempre es una virtud musical".
Además de los recursos de matemática que le exigió el modelo teórico, Tymoczko —que también es programador— desarrolló el software que permite trasladar los cálculos al entorno geométrico. "Estoy tratando de pasarlo a Java —uno de los lenguajes de programación más populares— para poder hacerlo público, porque como está hecho hasta ahora sólo lo entiendo yo", dice.
Y sostiene que le interesan especialmente las posibilidades que abre la composición asistida por computadora. "Permite explorar ideas complicadas mucho más rápido. Me interesa especialmente el uso de la computadora para crear ambientes musicales interactivos donde poder improvisar. En general, uso a las computadoras para entrar en ciertos territorios de composición antes de empezar a escribir algo, lo que me permite saber en cuál de los ''mundos'' del sonido voy a estar trabajando."
Compositor de piezas de variados estilos, desde música clásica para concierto hasta electrónica, admirador de Bach, Brahms, Debussy, Stravinsky y Messaien, entre otros, Tymoczko elige al ícono beatle Sgt. Pepper''s Lonely Hearts Club Band como el mejor disco de los últimos 50 años. Su investigación —afirma— puede tomar, a partir de ahora, más de una dirección.
En el artículo que lo hizo famoso, cita la posibilidad de seguir estudiando en detalle cómo diferentes músicos han explorado la geometría de los acordes. También, a partir de que este modelo es adaptable a otros estilos musicales, plantea que se lo puede extender al estudio de otros tipos de músicas (africana, asiática), así como convertirlo en punto de partida para sugerir nuevas técnicas de composición en música contemporánea.
"En este momento —concluye Tymoczko— estoy terminando un libro en el que intento unir éste con otros proyectos de teoría musical que desarrollé en los últimos diez años. Hasta hoy, la historia de la música occidental se ha contado sin tener en cuenta la evolución de la armonía y el contrapunto. Quiero usar estas nuevas ideas para contar la historia desde ahí."

No puede decir por qué suena bien
POR OSCAR PABLO DI LISCIA (Experto en tecnología en teoría musical)

Este trabajo no pretende explicar por qué determinada música suena bien. Si así fuese, yo sería muy escéptico, porque en ella subyace una reducción importante de los elementos musicales (trata la organización de la altura tonal, y la música es mucho más que eso). Se puede decir —como mucho— que cierta forma de pasar de un acorde a otro es propia de un estilo. Sin embargo, para lograr esto, al trabajo de Tymoczko le faltaría más investigación en el corpus de la música, sólo provee dos pequeños ejemplos. No hace referencia crítica a trabajos anteriores (en la línea de Heinrich Schenker y en la de Milton Babbitt —profesor de Tymoczko— Allen Forte o Robert Morris). Tampoco se muestra investigación con juicios de oyentes acerca de la relación entre la teoría que se expresa y lo que los individuos perciben. Pero como modelo descriptivo es muy interesante. Puede ser útil para estudiar a ciertos compositores. Para analizar a Beethoven o Mozart hay suficiente teoría. Para la música atonal también la hay. Pero para los compositores que están "en el medio", como Stravinsky o Debussy, no hay modelos de análisis satisfactorios. En cuanto a la vieja puja entre la visión científica y especulativa de la música frente a la creación y la intuición, yo no veo un problema (a lo sumo puede haber algún desbalance) y ambas posturas pueden convivir. En el otro extremo, Frank Zappa decía que "hablar de música es como bailar arquitectura".

Matemáticas que ayudan a crear
POR ALBERTO ROJO. (Músico - Tocó con Mercedes Sosa y Pedro Aznar)

La idea de Tymoczko es muy interesante. Le agrega generalidad al Tonnetz de Euler, ya que combina ideas de topología y teoría de grupo e intenta describir un "espacio de todos los acordes". Su trabajo da indicios de una posible representación geométrica general del contrapunto y la armonía. En este sentido, generaliza otras descripciones, pero todavía falta mucho por descifrar de estas representaciones abstractas. La música es muy compleja, no es algo fácil de volcar geométricamente. Sin dudas, las reglas del contrapunto son expresables en forma matemática. Se puede llegar muy lejos con este tipo de racionalización. En mi opinión, la razón por la que algo suena agradable es descifrable en lenguaje matemático; quizás no todo, pero una gran parte, mucho más de lo que entendemos hoy. Entender, racionalizar, nos intensifica y enriquece la experiencia estética. Lejos de conspirar, nos provee de herramientas nuevas para llegar a mayores profundidades creativas. Yo uso esquemas como el de Euler como una herramienta más para la composición. Me saca de mi idioma natural. Es lo mismo que cuando un guitarrista se sienta a un piano: permite llegar a lugares que de otra manera no frecuentaría.